סמנכ"ל כספים, את ההסתברות לחדלות פירעון (PD) אתה כבר יודע למדוד?

במאמר זה אני מלמד את סמנכ"ל הכספים של חברה מדווחת, אשר "מוצפת" בתקני IFRS העוסקים במדידת סיכוני אשראי, כיצד למדוד את ההסתברות לחדלות פירעון (PD- Probability of Default) לצרכי דיווח כספי הן על סמך הגישה המבנית והן על סמך גישת התצורה המצומצמת.

1. הרקע

באחרונה שוחחתי עם חבר שלי עוד מתקופת הלימודים המשמש כסמנכ"ל כספים בחברה פרטית המוחזקת על ידי חברה ציבורית. "אתה יודע", הוא אמר לי, "מאז החלתם של תקני החשבונאות הבינלאומיים (IFRS- International Financial Reporting Standard) בישראל לפני כ- 10 שנים בשנת 2008, אנו סמנכ"לי הכספים והחשבים של חברות ציבוריות והמוחזקות על ידן עסקנו הרבה באומדנים לסיכוני שוק. כלומר, היינו צריכים לאמוד ולחשב שיעורי היוון, אומדני ביתא, סטיות תקן ואפילו מח"מים של איגרות חוב". "איפה הבעיה?", שאלתי. "זהו, שעכשיו עם החלתם של תקניIFRS  נוספים כמו IFRS 16, IFRS 13, IFRS 9 וכו' שעניינם סיכוני אשראי – אנו מוצאים את עצמנו נעדרי כל ידע במדידת אומדנים לסיכוני אשראי, כמו PD, LGD, EL, UL, מרווח אשראי, סיכון אי ביצוע, מרווח CDS וכו'", הוא ענה. "אז אני מבטיח לך שאנסה למצוא זמן כתוב משהו על מנת לחלוק עם סמנכ"לי הכספים והחשבים ולו קמצוץ מהידע האקטוארי- תיאורטי והניסיון המימוני-פרקטי הרב שצברתי בתחום כאקטואר סיכוני אשראי", עניתי.

הספרות המקצועית בנושא אקטואריית סיכוני אשראי מציעה שתי חלופות לאמידת הסתברות לחדלות פירעון (PD- Probability of Default), כאשר כל אחת מהחלופות עושה שימוש בתשומות שונות לצורך מדידת ה- PD. שתי הגישות הינן הגישה המבנית וגישת התצורה המצומצמת.

1. הגישה המבנית התיאורתית לתמחור אופציות (Options-Theoretical Structure Approach) משתמשת במחירי מניות ובמחירי אג"ח ממשלתיות.
2. גישת התצורה המצומצמת (Reduced Form Approach) משתמשת במחירי אג"ח קונצרניות.

1. חישוב ההסתברות לחדלות פירעון באמצעות הגישה המבנית של מרטון

מודל מרטון (1974) הוא היום מודל מקובל בעולם להערכת סיכוני אשראי בכלל והסתברויות לחדלות פירעון בפרט (ראה ספרו של דמודראן Damodaran on Valuation בהוצאת Wiley פרק 17, או ספרם של קרוהי, גלאי ומרק בהוצאת McGraw-Hill פרק 9 וכן היישום המסחרי של מודיס-KMV).

יתרון חשוב של מודל מרטון הוא שאין צורך לאמוד את זרם התקבולים העתידי נטו של החברה ולמצוא גורם היוון מתאים להוון הזרמים העתידיים כדי לקבל ערך נוכחי, היות שכל המידע הקיים בשוק, לרבות לעניין התחרות בענף, גורמי הסיכון והרגולציה הקיימת והצפויה, מגולם למעשה במחיר המניות ואיגרות החוב הסחירות של החברה (כולל הערכות אנליסטים שחושבים שהשוק כבר מעריך בחסר את החברה, ולוקח הערכות של תחרות חריפה ביותר). כך למשל, איגרות חוב של חברה מדווחת הנסחרות בשוק פעיל, בהיקף סדרות גדול, נותנות אינדיקציה טוב מאוד גם לשיעורי ההיוון המתאימים לאיגרות החוב שאינן סחירות ולחוב הבנקאי. כך שבאופן פשוט יחסית, בהסתמך על נתוני השוק אנו יכולים להעריך את שווי החברה, ומתוך שווי זה, בהנחות נוספות, לגזור את ההסתברות שהחברה תיקלע לחדלות פירעון. מאחר ולא ניתן לקבוע בוודאות מהן ההנחות המתאימות, אנו בשווי פמימי לוקחים אומדנים שלהערכתנו משקפים באופן טוב וסביר את הפרמטרים הנכונים, ובנוסף אנו מבצעים בדיקות רגישות עבור אומדנים שונים שישקפו הבדלי הערכות אפשריים וסבירים.

מודל מרטון מבוסס על אומדן שווי פעילות החברה המאוחדת (כולל חלקה בחברות הבת על בסיס כלכלי -מאוחד), בערכים נוכחים שנסמן אותו להלן באות V. שווי הפירמה מתחלק באופן כללי בין בעלי החוב השונים לבין מחזיקי ההון העצמי. נסמן את סך שווי החוב וההון העצמי בערכים נוכחיים S ו- D , בהתאמה.

מודל מרטון בצורתו הפשוטה מניח שלחברה יש חוב שמשך חייו הוא T שנים, ובתום T שנים החברה מתחייבת להחזיר לבעלי החוב את הקרן והריבית הצבורה שהובטחה ובסה"כ התחייבה להחזיר F. בתנאים אלה הראה מרטון שהחוב הקונצרני הוא התחייבות מותנת שניתנת להערכה כלכלית כהפרש שבין תזרים המזומנים, F, שצפוי להתקבל בוודאות בזמן T, מהוון בשיעור הריבית חסרת הסיכון r, לבין שווי אופציית מכר (Put) על שווי הפירמה, V, לזמן מימוש T כאשר מחיר המימוש הוא F. שווי האופציה ניתן לחישוב על סמך מודל בלק-שולס (1973) בהתקיים הנחות המודל והוא פונקציה של T ,r ,F ,V ו- σ, כאשר σ היא סטיית התקן של שיעור התשואה על נכסי הפירמה.

גלאי-מסוליס (1976) הראו ששווי ההון העצמי בתנאים דומים הוא אופציית רכש (Call) על הפירמה, V, לזמן מימוש T במחיר מימוש F. וגם ההון העצמי יחושב על סמך מודל בלק-שולס כדי לקבל שווי כלכלי של ההון העצמי, בהנחה שהתנאים הנדרשים מתקיימים.

כזכור במודל בלק-שולס נעשה שימוש ב- N(d), דהיינו, בפונקצית ההתפלגות המצטברת הנורמלית סטנדרטית עד לנקודה d.במודל בלק-שולס ומרטון ל- N(-d2) יש פרוש כלכלי: זו ההסתברות הנייטרלית לסיכון חדלות פירעון של החברה (RNDP- Risk Neutral Default Probability) לתקופה המסתיימת בזמן T.

על מנת להפעיל את מודל מרטון על חברה מדווחת על סמנכ"ל הכספים להניח מספר הנחות אשר לא כאן המקום לפרטן. נציין ונדגיש שכל גישה לנושא, החשבונאית או הכלכלית, מבוססת על הנחות ועל אומדנים סטטיסטיים. מניסיוננו הרב בנושא למודל הכלכלי יש יתרונות רבים ובולטים במיוחד היות שהוא נותן אומדנים עקביים למרכיבי הון שונים של הפירמה. בנוסף מודל מרטון מאפשר בדיקות רגישות להנחות שונות.

בעוד שיעור הריבית חסרת הסיכון, הזמן עד לפדיון והערך נקוב של האג"חים הינם נתוני שוק הנצפים באופן ישיר או עקיף, הרי שעדיין נשארים לנו שני נעלמים: שיעור התשואה של נכסי החברה ושווי הפירמה. באמצעות הקשר הנאמד בין סטיית התקן של שיעור התשואה על מניות החברה לבין סטיית התקן של שיעור התשואה על נכסי הפירמה, הרי שלסמנכ"ל הכספים נשאר לפתור שתי משוואות בשני נעלמים והוא יכול להשתמש בטכניקה איטרטיבית לפתרון סטיית התקן של שיעור התשואה על נכסי הפירמה, ולאחר מכן את שווי הפירמה.

ההסתברות לחדלות פירעון (PD) על סמך מודל מרטון מחושבת כדלקמן:

PD = N(-d2)

כאשר d2 = {[ln(V / F) + (r – 0.5 x σ^2) x T] / [σ x T^0.5]} ו- N(-d2) היא פונקצית ההתפלגות המצטברת הנורמלית סטנדרטית ממינוס אינסוף ועד לנקודה מינוס d2.

נניח לשם הדוגמא פירמה עם שווי נכסים של 12.40 מיליארד ₪ וחוב מונפק עם ערך נקוב של 10 מיליארד ₪ הנפדה בעוד שנה מהיום. שיעור הריבית חסרת הסיכון הינו 3% וסטיית התקן של שיעור התשואה על נכסי הפירמה הינה 20.93%. מהי אם כן ההסתברות שהפירמה תגיע לחדלות פירעון על החוב שלה?

d2 = {[ln(12.40 / 10) + (0.03 – 0.5 x 0.2093^2) x 1] / [0.2093 x 1^0.5]} = 1.1374

PD = N(–1.1374) = 0.1277 = 12.77%

פירמת הייעוץ הכלכלי שווי פנימי בדקה את הקשרים בין התשומות במודל מרטון לבין ההסתברות לחדלות פירעון ומצאה שההסתברות לחדלות פירעון (PD) המשתמעת הגלומה במודל מרטון הינה פונקציה עולה של סטיית התקן של שיעור התשואה על נכסי הפירמה, σ והערך הנקוב של החוב, F ופונקציה יורדת של שווי הפירמה, V, שיעור הריבית חסרת הסיכון, r, והטווח לפדיון, T.

1. חישוב ההסתברות לחדלות פירעון בגישת התצורה המצומצמת

מודלים מבוססי-עוצמה (Intensity-Based Models) המכונים גם מודלים של תצורה מצומצמת מניחים שמקרים של חדלות פירעון מתרחשים באופן מקרי וכי שיעור הסכנה (Hazard Rate) קובע את ההסתברות לחדלות פירעון.

מודלים מבוססי-עוצמה מפרקים את מרווח האשראי על חוב במטרה לאמוד הן את ה- PD והן את שיעור ההפסד בקרות חדלות פירעון למחזיק האג"ח מתוך הערך הנקוב (LGD- Loss Given Default) על ידי שימוש בקשר הבא:

CS = PD x LGD

 CSמייצג את מרווח האשראי, אשר הינו למעשה ההפרש בין שיעור התשואה הגלום בחוב מסוכן לבין שיעור הריבית חסרת הסיכון. מרווח האשראי הוא למעשה מדד להפסד הצפוי (EL- Expected Loss), מאחר והוא תוספת הסיכון מעל לשיעור הריבית חסרת הסיכון. לכן, אקטואר סיכוני אשראי יכול לקבל קירוב להסתברות לחדלות פירעון מתוך מרווח האשראי ואת שיעור ההפסד בקרות חדלות פירעון. נזכיר כי שיעור ההפסד בקרות חדלות פירעון שווה לאחד פחות שיעור ההשבה.

לחילופין, ניתן לחשב את ההסתברות לחדלות פירעון באמצעות הביטוי הבא (תחת ההנחה שה- LGD = 100%):

MP = [FV x (1 – PD)] / (1 + RF)

כאשר, MP הינו מחיר השוק של אג"ח קונצרני, FV הינו הערך הנקוב של האג"ח, PD הוא ההסתברות לחדלות פירעון ו- RF הוא שיעור הריבית חסרת הסיכון בעל מח"מ ובסיס הצמדה הזהים לאלו של האג"ח.

1. דוגמא ראשונה לחישוב PD בגישת התצורה המצומצמת

נניח שמשקיע מסוים מחזיק באג"ח תלוש אפס (Zero- Coupon Bond) עם ערך נקוב של 100 אג', הנפדית בעוד שנה מהיום וששיעור ההשבה שלה הינו קבוע וידוע ושווה לאפס (קרי, LGD = 100%ׂ). הבה ונחשב את ההסתברות לחדלות פירעון בהנחה שמחיר השוק של האג"ח הינו 90 אג' וששיעור הריבית חסרת הסיכון הינו 6%.

ניתן לחשב את ה- PD כדלקמן:

90 = [100 x (1 – PD)] / 1.06

PD = 1 – [(90 x 1.06) / 100] = 0.046 = 4.6%

לחילופין, אם נתון לנו מחיר השוק של האג"ח והערך הנקוב שלה, הרי שניתן לחלץ את ה- PD על ידי חישוב שיעור התשואה המשווה מחיר השוק של האג"ח לתזרימי המזומנים הצפויים ממנה המהוונים באותו שיעור תשואה.

MP = FV / (1 + y)

אם נניח שוב שה- LGD = 100%, או אז הקשר הבא מתקיים כאשר y שווה לשיעור התשואה הגלום בחוב קונצרני ו- RF הינו שיעור התשואה הגלום באג"ח ממשלתית:

(1 + RF) = (1 – PD) x (1 + y)

אחרי קצת אלגברה פשוטה, ההסתברות לחדלות פירעון מחושבת כדלקמן:

PD = 1 – (1 + RF) / (1 + y)]

 

1. דוגמא שניה לחישוב PD בגישת התצורה המצומצמת

נניח שמשקיע מסוים מחזיק באג"ח תלוש אפס (Zero- Coupon Bond) עם ערך נקוב של 100 אג', הנפדית בעוד שנה מהיום וששיעור ההשבה שלה הינו קבוע וידוע ושווה לאפס (קרי, LGD = 100%ׂ). הבה ונחשב את ההסתברות לחדלות פירעון בהנחה שמחיר השוק של האג"ח הינו 90 אג' וששיעור הריבית חסרת הסיכון הינו 6%.

90 = 100 / (1 + y)

y = 100 / 90 – 1 = 11.11%

PD = 1 – (1.06 / 1.1111) = 0.046 = 4.6%

ברור, שמאחר ומרווחי האשראי משתנים על פני זמן, הרי שגם ה- PD ישתנה על פני זמן. באמצעות שיעורי ריבית מיידיים (Spot) לאורך עקום התשואות (Yield Curve), אקטואר סיכוני אשראי יכול לפרק את מרווח האשראי המשתנה על פני זמן (time-varying credit spread) הגלום (embedded) בשיעורי הריבית לטווחים ארוכים יותר. שיעור הריבית העתידי (Forward) הינו שעור הריבית לתקופה 1 הצפוי על אג"ח כלשהי בזמן מסוים בעתיד. בהנחה שאין הזדמנויות לארביטראז' (בהיעדר רווחים חסרי סיכון), הרי שניתן לקבוע את שיעור הריבית העתידי לשנה כדלקמן:

(1 + i2)^2 = (1 + i1) x (1 + f1)

כאשר, (1 + i2)^2 שווה לתשואה הנובעת מהחזקת אג"ח עם טווח לפדיון של שנתיים במשך שנתיים, (1 + i1) שווה לתשואה על אג"ח עם טווח לפדיון של שנה ו- (1 + f1) שווה לשיעור הריבית לשנה הצפוי החל מבעוד שנה (קרי, שיעור הריבית העתידי לשנה).

בהנחה ששיעור הריבית המיידי לשנתיים עומד על 12.5% וכזכור שיעור הריבית המיידי לשנה שמצאנו בדוגמא 2 הינו 11.11%, הרי ששיעור הריבית העתידי לשנה, החל מבעוד שנה מהיום הינו f1= 13.9%.

באמצעות אותה הגישה, אם שיעור הריבית חסרת הסיכון לשנה ולשנתיים הינם 6% ו- 7%, בהתאמה, או אז שיעור הריבית העתידי לשנה, החל מבעוד שנה הינו 8%. השימוש בשיעור ריבית עתיידיים לפתרון ה- PD מתבצע באמצעות הביטוי הבא:

(1 + IFRF) = (1 – PD) x (1 + f1)

כאשר IFRF הינו שיעור הריבית חסרת הסיכון המשתמע הגלום (Implied Forward Risk Free Rate).

1.08 = (1 – PD) x (1.139)

במקרה דנן שלפנינו, ה- PD הינו למעשה הסתברות מותנית (Conditional Probability), משמע, ההסתברות המותנה לחדלות פירעון לשנה הקרובה מותנה בכך שלא ארע מקרה של חדלות פירעון בשנה הקודמת.

P(default year 2 | no default in year 1) = 5.18%

באמצעות ה- PD עבור השנה הראשונה והשווי הקודם, אקטואר סיכוני אשראי יכול לחשב את ההסתברות המצטברת לחדלות פירעון (Cumulative Probability of Default):

Cumulative PD = 1 – {[1 – PD1] x [1 – P(default year 2 | no default in year 1)]}

Cumulative PD = 1 – [(1 – 0.046) x (1 –0.0518)] = 0.09542 = 9.542%

פירוש הדבר הוא שלאג"ח יש סיכוי של 9.542% להגיע למצב של חדלות פירעון על פני השנתיים הבאות (הווה אומר: או בשנה הראשונה או בשנה השנייה).

 

החישובים כאן כוללים בחובם את ההנחה שה- LGD = 100%. שחרור הנחה חזקה זו פירושה שנצטרך להחליף את ההסתברות לחדלות פירעון בהפסד הצפוי (EL) המחושב כ-EL  = PD x LGD.

 

(1 + RF) = (1 – EL) x (1 + y) = (1 – PD x LGD) x (1 + y)

 

זיהוי ה- PD וה- LGD הינו קשה, וכתוצאה מכך אקטוארים של סיכוני אשראי עושים שימוש במגוון שיטות ייחודיות. חלק מהשיטות הללו מניחות שה- LGD מתואם עם שיעור הריבית חסרת הסיכון וחלק מניחות ששיעור ההשבה הינו פונקציה ידועה של הערך הנקוב של האג"ח בפדיון.

 

1. לסיכום

פירמת הייעוץ הכלכלי שווי פנימי מסייעת ללקוחותיה לאמוד את ההסתברות לחדלות פירעון (PD) בין אם לצורכי יישום יישום כללי התקינה החשבונאית הבינלאומית IFRS ובין אם לצרכים אחרים. חשוב לציין כי מדידת ההסתברות לחדלות פירעון דורשת הבנה עמוקה בתהליכים סטוכסטיים, ידע בשיטות נומריות ושליטה ברמה גבוהה ב- Excel.

אנו פירמת הייעוץ הכלכלי שווי פנימי מבצעים מדידות של הסתברויות לחדלות פירעון לפי מספר מודלים המקובלים בתחום. בין היתר, אנו משתמשים במודל של Tudela and Young (2003). מודל זה ניתן ליישום על ידי שימוש בסימולציית מונטה קרלו או בשיטות נומריות מהסוג המכונה Finite Difference Methods. מדובר במודל המקובל היום בעולם למדידת PD מאחר ולהבדיל ממודל מרטון הבסיסי המודד את ה- PD באמצעות כ"אופציית ונילה אירופאית" – כלומר מניח כי חדלות הפירעון אפשרית רק במועד החזר החוב הנקוב, T, הרי שהמודל שלTudela and Young  מודד את ה- PD באמצעות "אופציית חסם" הכוללת בתוכה רכיב גבול (Barrier) מסוג Knock out או יותר נכון Down and out – כלומר מניח כי חדלות הפירעון אפשרית בכל עת ממועד ההערכה ועד T. השימוש במודל של Tudela and Young (2003) משפר את אמידת ה- PD כיוון שהוא מאפשר לאירוע חדלות הפירעון מכיוון שהוא מתקרב למציאות שבה בפועל, כשמצבה הפיננסי של החברה מידרדר בעלי האג"ח לרוב דורשים להעמיד את החוב לפירעון מיידי, או שהחברה עצמה עושה מהלך יזום ונכנסת למו"מ מול בעלי האג"ח.

השימוש במספר מודלים בתהליך המדידה מאפשר ניתוח השוואתי של התוצאות לפני הגשת חוות דעת ללקוח, זאת על מנת להקטין סיכון מודל. חוות הדעת כוללת, בין היתר:

• רקע תיאורטי
• תיאור המודלים למדידה
• תיאור הפרמטרים שבהם נעשה שימוש
• ניתוחי רגישות לתוצאות בהתאם לרמות שונות של פרמטרים, אשר לגביהם לא קיימת ודאות מלאה.

הכותב הוא רועי פולניצר, אקטואר מלא (Fellow) מוסמך מטעם לשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל (IAVFA) ומומחה בינלאומי לניהול סיכונים פיננסיים (FRM) מוסמך מטעם האיגוד העולמי למומחי סיכונים (GARP).