אמידת ה- VaR בגישת מונטה קרלו

"סימולציית מונטה קרלו" הינה שיטה מדעית וטכניקה מתמטית, המסייעת בקבלת החלטה בתנאי אי וודאות שמשלבת שימוש במספרים אקראיים, בהתפלגויות ערכים אפשריות ובהסתברויות, ומסייעת בפתרון בעיות הקשורות לניהול סיכונים ותחזיות לעתיד. הטכניקה מבוססת על בניית מודל נתונים המתאר את הבעיה הכלכלית הניצבת בפני מקבלי ההחלטות. המודל מכיל בדרך כלל משתני כניסה, חישובים ועיבודים שונים הנעשים על משתני הכניסה ותוצאות או תחזיות המשמשות כתוצאות של המודל.

מכיוון שאנו פועלים בסביבה שבה חלק ממשתני הכניסה אינם ידועים, וקיימת חוסר ודאות לגביהם, אנו מגדירים עבור אותם משתנים טווחים אפשריים והתפלגויות חזויות לערכים המספריים. הערך המוסף העיקרי של "סימולציית מונטה קרלו" הוא שהיא מציגה עבור משתני התחזית של המודל לא רק את ערכי התוצאה החזויים כמו בניתוחי רגישות וכלים מתמטיים וסטטיסטיים אחרים, אלא גם מהי ההסתברות שיתקבלו אותם ערכים חזויים. ובכך, הסימולציה מצמצמת באופן ניכר את חוסר הודאות של מקבל ההחלטה. 

טכניקה מדעית זו נמצאת בשימוש רחב בעולם הפיננסים וההשקעות, בהנדסה, ביולוגיה חישובית, כימיה וסטטיסטיקה יישומית ומהווה כלי עזר חשוב בקבלת החלטות.

נזכיר כי "הערך הנתון בסיכון", לאמור ה- VaR (ה- Value at Risk) הינו אומד לחשיפה הכוללת למיגוון סיכוני השוק – הריבית, האינפלציה, שערי החליפין, המניות והסחורות. ה- VaR מבטא את ההפסד המרבי הצפוי בגין פוזיציה מסוימת בנכסים והתחייבויות הרגישים לשינויים בגורמי השוק (שערי החליפין, הריביות, האינפלציה, מחירי המניות ומחירי הסחורות) עבור אופק תכנון ורמת מובהקות (רווח בר-סמך) נתונים. כך, לדוגמה, אם ה- VaR השבועי של חברה מסוימת הוא אלף ש"ח, ברמת מובהקות של 99%, במהלך השבוע הקרוב ישנו סיכוי של 1% בלבד שההפסד יהיה גבוה מסכום זה.

ה- VaR מחושב (בכל השיטות) על פי אותה סכימה: תחילה קובעים פרמטרים בסיסיים, כגון תקופת המדגם, תקופת ההחזקה והרווח בר-הסמך, אחר כך בוחרים את גורמי הסיכון הרלוונטיים וממפים את הסיכונים (risk mapping), ולבסוף מחשבים את ה- VaR.

את השיטות לחישוב ה- VaR נהוג לחלק לשני סוגים - פרמטריות ולא-פרמטריות. עם השיטות הפרמטריות נמנות שיטת מטריצת השונויות המשותפות ושיטות אנליטיות ועם השיטות הלא-פרמטריות - שיטות הסימולציה ההיסטורית וסימולציית מונטה קרלו.

שיטת הסימולציה של מונטה קרלו לחישוב ה- VaR היא שיטה לא-פרמטרית, הנחשבת למתוחכמת מבין שלוש השיטות. בשיטה זו לא נדרשות הנחות כלשהן לגבי התפלגויות השינויים בגורמי הסיכון ובערך התיק.

הסימולציה מבוססת על זיהוי גורמי הסיכון הבולטים (שלהם השפעה ניכרת על התיק) ובניית התפלגות משותפת לאותם גורמים על בסיס נתוני העבר. לאחר מכן דוגמים מספר גדול של תצפיות מאותה ההתפלגות ומחשבים את הרווח או ההפסד בתיק עבור כל תצפית. מסדרים את התוצאות מההפסד הגדול ביותר עד לרווח הגדול ביותר, וכמו בשיטות הקודמות - ערך האחוזון מההתפלגות, המשקף את ההפסד המרבי שעלול להיגרם בהסתברות של 99% הוא ה- VaR בגישת מונטה קרלו.

למעשה בשיטת סימולציה של מונטה קרלו אומדים תחילה את השינויים היומיים הפרוספקטיביים בגורמי הסיכון השונים במהלך תקופת ההחזקה שנבחרה; אחר כך בוחנים את השפעתם של וקטורי השינויים שהוגרלו על שווי התיק הנוכחי – כלומר בודקים, לגבי כל וקטור של שינויים בגורמי הסיכון, מהו הרווח או ההפסד שהיה מתקבל אילו השינויים הפוטנציאליים שהוגרלו היו מתרחשים היום. ה- VaR בגישת מונטה קרלו יהיה האחוזון מהתפלגות הרווחים וההפסדים כשהם מסודרים מההפסד הגדול ביותר עבור הבנק ועד לרווח הגדול (התרחיש הטוב) ביותר עבורו. פירושו של דבר, שעל פי תרחישים רבים שהוגרלו באמצעות לוח מספרים מקריים הבנוי על התפלגות מסוימת, הסבירות כי יתקבל הפסד הגדול מה- VaR קטנה מאחוז אחד.

ל- VaR בגישת מונטה קרלו מספר יתרונות חשובים.

ראשית, לשם ביצוע סימולציית מונטה קרלו לא נדרשות הנחות לגבי מודל כלשהו לגבי הקשר שבין ערך התיק לבין השינויים בגורמי הסיכון, וכן לגבי התפלגות השינויים בגורמי הסיכון. 

יתרון שני הוא האפשרות לטפל בתיק המכיל מכשירים פיננסיים לא ליניאריים, כגון אופציות ואג"חים, וכן הקלות היחסית שבה ניתן לבחון את השפעת תרחישי הקיצון (stress tests) על שווי התיק. 

נוסף על כך ניתן לעקוב באמצעות סימולציית מונטה קרלו אחר תהליך קבלת שווי התיק כפונקציה של גורמי הסיכון – בניגוד לשיטות האחרות (השיטה האנליטית ושיטת הסימולציה ההיסטורית), שבהן מקבלים רק תוצאה סופית. כן ניתן להשתמש בתוצאות ראשוניות שהתקבלו בשיטות הקודמות כקלט עבור סימולציית מונטה קרלו. כך, למשל, ניתן להעריך את התפלגות גורמי הסיכון באמצעות הסימולציה ההיסטורית, וללמוד על חשיבותם של גורמי הסיכון השונים (בהתאם למידת השפעתם על שווי התיק) ועל הקשרים ביניהם באמצעות השיטה האנליטית, העושה שימוש במטריצת שונויות משותפות.

החיסרון העיקרי של ה- VaR בגישת מונטה קרלו הוא איטיות החישוב, הואיל וההתכנסות של סימולציית מונטה קרלו ל"שווי האמיתי" היא בסדר גודל של אחד חלקי שורש מספר המסלולים (trajectories) שנקבעו. פירושו של דבר, שכדי להגדיל את רמת הדיוק בפקטור של 10 נדרש לבצע 100 סימולציות נוספות. כך, למשל, סימולציה הכוללת 10,000 הרצות (מסלולים) אורכת במחשב אישי סטנדרטי מספר שעות. עם זאת נציין כי פותחו טכניקות לייעול הסימולציה, המפחיתות את השונות בשוויי התיק, ובכך את מספר ההרצות הנדרש. טכניקות אלו מבוססות על התכונות הידועות של התיק, כגון הקשרים שבין גורמי הסיכון השונים. טכניקה נוספת להגברת מהירות הריצה של הסימולציה היא "דחיסת התיק", כלומר יצירת מכשיר פיננסי מלאכותי שמאפייני הסיכון שלו זהים לאלה של התיק המקורי, והוא מדמה את התנהגות התיק.

סוג הסימולציה הנפוץ ביותר בשימוש עבור נכסים פיננסיים מורכבים הינו סימולציית מונטה קרלו. סימולציית מונטה קרלו בנויה על דגימה אקראית של גורמי סיכון מהתפלגות מתאימה. על סמך הדגימה נוצרים מסלולים דמיוניים של שינויים בגורמי סיכון לאורך זמן.

שיטת מונטה קרלו היא שיטה לפתרון בעיות חישוביות באמצעות מספרים אקראיים. למרות המקריות שבמספרים האקראיים, השיטה מאפשרת להגיע לרמת דיוק נדרשת על ידי שימוש בחוק המספרים הגדולים. רמת הדיוק של השיטה נמדדת על ידי פרמטר שנקרא Standard error of sample mean אשר מהווה אינדיקציה לאיכות התוצאה.

לצורך חישוב ה- VaR של תיק מסוים בגישת מונטה קרלו תחילה על האקטואר הפיננסי להניח התפלגות מסוימת. לאחר מכן על האקטואר הפיננסי הגריל תרחישים רבים באמצעות לוח מספרים מקריים הבנוי על אותה התפלגות. בהמשך על האקטואר הפיננסי לגזור מהתרחישים שהתקבלו רווחים והפסדים על התיק הקיים. לבסוף על האקטואר הפיננסי לבחון את הערכים הקיצוניים של שווי התיק בדומה לגישת הסימולציה ההיסטורית.

יתרונותיו של ה- VaR בגישת מונטה קרלו הם שפעם אחת הוא מתאים לטיפול בסיכונים נוספים ובמכשירים מורכבים ופעם שניה שקל לבצע עליו ניתוחי רגישות. חסרונותיו של ה- VaR בגישת מונטה קרלו הינם: משאבי מחשב גדולים, סיכוני מודל וגישה שמורכבת להסבר. לסיכום, ה- VaR בגישת מונטה קרלו מתאים לתיק מורכב כשהגורמים והפרמטרים המשפיעים על תשואות הנכסים בתיק ידועים.

משרד הייעוץ שווי פנימי מסייע ללקוחותיו לפתח וליישם מודלים מתקדמים הדורשים הבנה עמוקה בתהליכים סטוכסטיים, ידע בשיטות נומריות ושליטה ברמה גבוהה בתוכנת האקסל ובשפת התכנות המובנית באקסל (Visual Basic for Applications). שווי פנימי מייעץ לחברות ציבוריות ופרטיות בישראל כמו גם למשרדי רואי חשבון ומשרדי ייעוץ כלכלי בניתוחים כמותיים מתקדמים בתחומים של הנדסה פיננסית, יישום מודל מונטה קרלו, תהליכים סטוכסטיים ופתרון בעיות כמותיות באמצעות שיטות נומריות מתקדמות.