חשב, את שיעור ההפסד בקרות חדלות פירעון (LGD) אתה כבר יודע לאמוד?

הקדמה: במאמר האחרון, דנו כיצד ה- PD (ההסתברות לחדלות פירעון, Probability of Default) של מנפיק חוב (אג"ח או הלוואה) לאופק נתון )לרוב שנה) מחושב באמצעות מודל Merton.

במאמר זה נדון ב- LGD הלא הוא שיעור ההפסד למחזיק האג"ח מתוך הערך הנקוב בקרות חדלות פירעון (Loss Given Default). בספרות המקצועית ה- LGD מכונה המשלים ל- RR (שיעור ההשבה, Recovery Rate) והוא מחושב כך: LGD = 1– RR. משמעות ה- RR היא האחוז מתוך הערך הנקוב שמחזיק האג"ח מקבל בקרות חדלות פירעון.

ה- LGD משתנה בתלות במאפייני נכס החוב, כאשר בעיקר ניתן להבחין בשלוש קבוצות עיקריות: נכסים עם בטחונות מאופיינים ב- LGD נמוך יחסית (כ- 30% בממוצע), נכסים ללא בטחונות (כ- 50% בממוצע) ונכסי חוב נחותים (כ- 64% בממוצע). נתונים אלה מתייחסים לשוק הישראלי בשנים 2012-2013.

הספרות המקצועית בנושא אקטואריית סיכוני אשראי מציעה שתי חלופות לאמידת שיעור ההפסד בקרות חדלות פירעון (LGD- Loss Given Default), כאשר כל אחת מהחלופות עושה שימוש בתשומות שונות לצורך מדידת ה- LGD. שתי הגישות הינן הגישה המבנית של מרטון והגישה ההיסטורית.

1. הגישה המבנית התיאורתית לתמחור אופציות (Options-Theoretical Structure Approach) משתמשת במחירי מניות ובמחירי אג"ח ממשלתיות.
2. הגישה ההיסטורית משתמשת בנתונים סטטיסטיים המבוססים על לתצפיות עבר בנוגע לשיעורי ה- LGD המפורסמים על ידי סוכנויות הדירוג.

 

1. חישוב שיעור ההפסד בקרות חדלות פירעון באמצעות הגישה המבנית של מרטון

מודל מרטון (1974) הינו מודל מתמטי אשר חוזה את הסיכון הגלום בחוב על פי סטיית התקן של מניות המנפיק ועל כן מודל זה משמש להערכת שווי חוב בכיר, חוב מזנין, חוב נחות, חוב סטרייט, חוב המיר והון עצמי. הגישה הקלאסית להערכת חוב מהוונת תזרימים צפויים לפי לוח סילוקין מוגדר לפי מחיר הון מסוים (ריבית שוק). קיים קושי ניכר בהצדקת מחיר הון כלשהו מה גם שערכו של החוב רגיש במיוחד למחיר הון זה. מרטון, במתודולוגיה שקנתה לה הגמוניה בתורת המימון, ותחת הנחת "גישת הערכת שווי נייטרלית לסיכון", לאמור ה- RNVA (Risk Neutral Valuation Approach) מאפשר היוון דומה (לזה של התזרימים הצפויים ללא צורך בשימוש במחיר הון. תחת זו יש צורך באמידת סטיית התקן של שיעורי התשואה שאותה ניתן לבצע במדויק על סמך נתוני השוק (בניגוד לאמידת מחירי הון). בגישה אינטואיטיבית, ההצדקה לגישתו של מרטון להערכת חוב רואה בהון העצמי מעין "אופציה" לשלם את החוב (קרן וריבית) במועדו או להעביר את המניות לבעל החוב (חדלות פירעון). כלומר, באותה מידה שמחיר הון בגישה הקלאסית לוקח בחשבון את האפשרות לחדלות פירעון, המודל של מרטון מפנים את ההסתברות לחדלות פירעון ואת שיעור ההפסד בקרות חדלות פירעון באופן מדויק יותר.

שיעור ההפסד בקרות חדלות פירעון (LGD) על סמך מודל מרטון מחושב כדלקמן:

LGD ={[F x N(-d2) – V x exp(r x T) x N(-d1)] / [F x N(-d2)]}

כאשר: d1 = {[ln(V / F) + (r + 0.5 x σ^2) x T] / [σ x T^0.5]}  ו-  d2 = {[ln(V / F) + (r – 0.5 x σ^2) x T] / [σ x T^0.5]}]

כאשר: N(-d1) היא פונקצית ההתפלגות המצטברת הנורמלית סטנדרטית (קרי, השטח מתחת לעקום או האינטגרל) ממינוס אינסוף ועד לנקודה מינוס d1 (כלומר,  d1סטיות תקן שמאלה מהתוחלת במקרה דנן שלפנינו) ו- N(-d2) היא היא פונקצית ההתפלגות המצטברת הנורמלית סטנדרטית (קרי, השטח מתחת לעקום או האינטגרל) ממינוס אינסוף ועד לנקודה מינוס d2 (כלומר,  d2סטיות סטיות תקן שמאלה מהתוחלת במקרה דנן שלפנינו).

נניח לשם הדוגמא פירמה עם שווי נכסים של 12.40 מיליארד ₪ וחוב מונפק עם ערך נקוב של 10 מיליארד ₪ הנפדה בעוד שנה מהיום. שיעור הריבית חסרת הסיכון הינו 3% וסטיית התקן של שיעור התשואה על נכסי הפירמה הינה 20.93%. מהו אם כן שיעור ההפסד למחזיקי איגרות החוב של הפירמה בקרות חדלות פירעון?

תחילה נאמוד את d1

d1 = {[ln(12.40 / 10) + (0.03 + 0.5 x 0.2093^2) x 1] / [0.2093 x 1^0.5]} = 1.3467

מכאן ניתן לקבוע ש-

N(–1.3467) = 0.0890

לאחר מכן נאמוד את d2

d2 = {[ln(12.40 / 10) + (0.03 – 0.5 x 0.2093^2) x 1] / [0.2093 x 1^0.5]}= 1.1374

מכאן ניתן לקבוע ש-

N(–1.1374) = 0.1277

לפיכך:

LGD ={[10 x 0.1277 – 12.40 x exp(0.03 x 3) x 0.0890] / [10 x 0.1277]} = 9.57%

פירמת הייעוץ הכלכלי שווי פנימי בדקה את הקשרים בין התשומות במודל מרטון לבין שיעור ההפסד בקרות חדלות פירעון ומצאה ששיעור ההפסד בקרות חדלות פירעון (LGD) המשתמע הגלום במודל מרטון הינו פונקציה עולה של סטיית התקן של שיעור התשואה על נכסי הפירמה, σ והערך הנקוב של החוב, F ופונקציה יורדת של שווי הפירמה, V, שיעור הריבית חסרת הסיכון, r,  והטווח לפדיון, T.

1. חישוב שיעור ההפסד בקרות חדלות פירעון באמצעות הגישה ההיסטורית

הדרך השניה המקובלת לחישוב שיעור ההפסד בקרות חדלות פירעון הינו בהתאם לנתונים סטטיסטיים המבוססים על לתצפיות עבר בנוגע לשיעורי ה- Recovery המפורסמים על ידי סוכנויות הדירוג.

כאשר חברה מגיעה למצב של חדלות פירעון, בעלי החוב (קרי, אלו שהחברה חייבת להם כסף) מגישים תביעות נגד נכסי החברה, כאשר בארה"ב התביעה המוגשת על ידי בעלי האג"ח היא על סכום נזק השווה לערך הנקוב של האיגרת בתוספת הריבית הצבירה (Accrued Interest).

לפעמים ישנו הסדר חוב אשר לפיו בעלי החוב מסכימים לקבל תשלום חלקי של תביעותיהם ובלבד שלא "לצאת קירחים" מכאן ומכאן. במקרים אחרים הנכסים נמכרים על ידי המפרק והתמורות בגינם משמשות לתשלום התביעות ככל האפשר. לחלק מהתביעות מן הסתם ישנה עדיפות על פני תביעות אחרות ואז אותן תביעות ישולמו במלואן.

על פי רוב, שיעור ההשבה עבור איגרת חוב מסוימת מוגדר כמחיר השוק של האיגרת מיד לאחר חדלות הפירעון, כאחוז מהערך הנקוב שלה. הטבלה הבאה מספקת מידע היסטורי על שיעורי ההפסד בקרות חדלות פירעון עבור קטגוריות שונות של איגרות חוב בארה"ב. הטבלה מראה שבעוד שלבעלי חוב נחות זוטר (Junior Subordinated) יש שיעור הפסד ממוצע בקרות חדלות פירעון של 75.80 סנט על כל 1 דולר ארה"ב ערך נקוב איגרת חוב שיש להם ביד, הרי שלבעלי חוב עם שיעבוד מדרגה ראשונה (First Lien) יש שיעור הפסד ממוצע בקרות חדלות פירעון של רק 46.60 סנט על כל 1 דולר ארה"ב ערך נקוב איגרת חוב שיש להם ביד.

שיעורי ההפסד בקרות חדלות פירעון מתואמים חיובית עם ההסתברויות לחדלות פירעון. סוכנות הדירוג מודיס' בחנה את שיעורי ההפסד הממוצעים בקרות חדלות פירעון בכל אחת מהשנים שבין 1982 ו- 2015.

סוג החוב	שיעור ה- LGD החציוני
חוב עם שיעבוד מדרגה ראשונה	46.6%
חוב עם שיעבוד מדרגה שנייה	50.3%
חוב לא מובטח בכיר	62.4%
חוב נחות בכיר	68.9%
חוב נחות	68.1%
חוב נחות זוטר	75.8%

 

מודיס' מצאה שהקשר הבא מספק התאמה טובה לנתוניה:

LGD = 40.9% + 8.356 x PD

כאשר ה- LGD הוא שיעור ההפסד הממוצע לשנה בקרות חדלות פירעון על חוב עם שיעבוד מדרגה ראשונה (First Lien) באחוזים וה- PD הוא ההסתברות השנתית לחדלות פירעון באחוזים.

פירושו של הקשר המונח לעיל הוא ששנה רעה מבחינת ההסתברות לחדלות הפירעון היא בדרך כלל רעה פעמיים, מאחר והיא מלווה בשיעור הפסד גבוה בקרות חדלות פירעון. לדוגמא, כאשר ההסתברות לחדלות פירעון בשנה מסוימת הינה 0.1% בלבד, הרי ששיעור ההפסד הצפוי בקרות חדלות פירעון נאמד בכ- 41.7%. מאידך, כאשר ההסתברות לחדלות פירעון היא די גבוהה ברמה של 3%, הרי ששיעור ההפסד הצפוי בקרות חדלות פירעון נאמד בכ-  66.0%.

לפירוט נרחב יותר ראו את מאמרם של ה"ה דיוויד המילטון, פראבין וארמה וריצ'ארד קנטור שכותרתו "Default & Recovery Rates of Corporate. Bond Issuers" אשר פורסם על ידי מודיס' בינואר 2014. מקדם ההסבר המרובה (R^2) של הרגרסיה הינו 0.6. הקורלציה כבר זוהתה ונידונה בנייר העבודה שכתבו ה"ה אדוארד אלטמן, ברוקס בריידי, אנדריאה רסטי ואנדריאה סירוני שכותרתו "The Link between Default and Recovery Rates: Implications for Credit Risk Models and Procyclicality" באוניברסיטת ניו יורק בשנת 2003.

1. לסיכום

פירמת הייעוץ הכלכלי שווי פנימי מסייעת ללקוחותיה לאמוד את שיעור ההפסד בקרות חדלות פירעון (LGD) בין אם לצורכי יישום כללי התקינה החשבונאית הבינלאומית IFRS ובין אם לצרכים אחרים. חשוב לציין כי אמידת שיעור ההפסד בקרות חדלות פירעון דורשת הבנה עמוקה בתהליכים סטוכסטיים, ידע בשיטות נומריות ושליטה ברמה גבוהה ב- Excel.

אנו פירמת הייעוץ הכלכלי שווי פנימי מבצעים אמידות של שיעורי הפסד בקרות חדלות פירעון לפי מספר טכניקות המקובלות בתחום. בין היתר, אנו משתמשים בהתפלגות ביתא. התפלגות ביתא הינה התפלגות סטטיסטית פרמטרית התלויה בשני משתני כניסה בלבד לצורכי קליברציה, התוחלת והשונות, ועדיין היא מאוד גמישה. התפלגות ביתא הינה ההתפלגות המונחת עבור LGD במודלים של סיכוני אשראי כגון: Portfolio Risk Tracker, CreditMetrics ואחרים. נזכיר שעל מנת להעריך את סיכון האשראי של תיק עלינו לדעת את התפלגות שיעורי ה- LGD עבור רמות משתנות של בכירות חוב.

כאקטואר סיכוני אשראי אני מוצא את התפלגות הביתא כמתאימה ביותר למידול שיעורי LGD היות ומרחב ההתפלגות שלה (האזור שבו ההסתברויות הינן חיוביות) נע בין אפס לאחד. התוחלת והשונות של שיעורי ה- LGD קובעות את שני משתני הכניסה של ההתפלגות המסומנים ב- "a" ו- "b", והם מספקים הלכה למעשה את צורת ההתפלגות. חשוב להבין שלהתפלגות ביתא אין צורה קבועה (להבדיל מההתפלגות הנורמלית המזוהה על פי צורת הפעמון) והיא יכולה להיות א-סימטרית (Skewed), סימטרית או אפילו קמורה (Convex). למשל אם משתני הכניסה הינם: a = b = 1, או אז התפלגות הביתא הינה התפלגות אחידה בין 0 ל- 1.

למרות היותה גמישה, הרי שהתפלגות ביתא איננה יכולה לשמש להתאמת (fitting) פונקציית ה- LGD אם המדגם הוא בי-מודלי (bimodal, דו-שכיחי, דהיינו, מדגם שבו לשכיח יש שני ערכים או אף יותר) או לחילופין אם למרבית האלמנטים של המדגם יש LGD של 0% או 100%. אם המדגם הוא בי-מודלי, הרי שהתפלגות הביתא הנאמדת תיתן הסתברויות מוטות כלפי מטה עבור התוצאות של LGD גבוה מאוד. במקרים שכאלה כאשר התפלגות הביתא אינה אפליקבילית, אנו בפירמת הייעוץ שווי פנימי מעדיפים לעשות שימוש בטכניקת אמידת Kernel, אשר עושה עבודה טובה יותר בכל הקשור למידול התפלגויות דו-שכיחיות.

השימוש במספר טכניקות בתהליך האמידה מאפשר ניתוח השוואתי של התוצאות לפני הגשת חוות דעת ללקוח, זאת על מנת להקטין סיכון מודל. חוות הדעת כוללת, בין היתר:

• רקע תיאורטי
• תיאור הטכניקות לאמידה
• תיאור הפרמטרים שבהם נעשה שימוש
• ניתוחי רגישות לתוצאות בהתאם לרמות שונות של פרמטרים, אשר לגביהם לא קיימת ודאות מלאה.

הכותב הוא רועי פולניצר, אקטואר מלא (Fellow) מוסמך מטעם לשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל (IAVFA) ומומחה בינלאומי לניהול סיכונים פיננסיים (FRM) מוסמך מטעם האיגוד העולמי למומחי סיכונים (GARP).