חישוב VaR אנליטי

בהמשך לסדרת המאמרים הקודמים ה- VaR הינו ההפסד המקסימלי שעלול להיגרם לתיק, כלשהו המוחזק לאופק החזקה נתון, ברמת מובהקות מסוימת, כתוצאה משינוי בגורמי הסיכון של התיק. במאמר זה נעסוק בחישוב ה- VaR אנליטי.

בהנחה ש- X מייצג את סכום ההשקעה של חברה מסוימת למשך n ימים, ו- m הינו מספר סטיות התקן הדרושות לרמת הביטחון הדרושה (למשל: 2.33 סטיות תקן לרמת ביטחון של 99%). ה- VaR האנליטי יחושב כמכפלה של הפרמטרים הבאים: סכום ההשקעה (X ₪ במקרה דנן שלפנינו), סטיית התקן היומית (מקובל לסמן את סטיית התקן באות סיגמא קטנה ביוונית), מספר סטיות התקן (m סטיות תקן במקרה דנן שלפנינו) והשורש הריבועי של מספר הימים (n ימים במקרה דנן שלפנינו).

משמעות ה- VaR היא שברמת הביטחון המבוקשת לא נפסיד יותר מה- VaR לתקופה של n ימים. נעיר כי מקובל לסמן את ה-  VaR באות V.

חברה מעוניינת להשקיע במדד ת"א 35, ורוצה לבדוק את רמת הסיכון, דהיינו את רמת החשיפה להפסד מסוים.

נבדוק את ה- VaR האנליטי היומי של מיליון ₪ המושקעים במדד ת"א 35, כאשר אומדן סטיית התקן השנתית של שיעורי התשואה של מדד ת"א 35 הינו 9% ולפיכך אומדן סטיית התקן היומית של שיעורי התשואה של המדד הינו 0.57% (בהנחה של 252 ימי מסחר בשנה). אי לכך רמת אי הוודאות היומית מתקבלת על ידי:

5,669 ₪ = 0.57% x 1,000,000 ₪

נניח כי השינוי מפולג נורמלית. אזי ה- VaR האנליטי היומי ברמת ביטחון של 99% הוא:

13,210 ₪ = 2.33 x 5,699 ₪

לפיכך, ה- VaR האנליטי לתקופה של 10 ימים ברמת ביטחון של 99% הינו 41,773 ₪, כדלקמן:

41,773 ₪ = 3.162 x 2.33 x 5,699 ₪

כאשר 3.612 מייצג את השורש הריבועי של 10 ימי מסחר. 

נניח כי כעת לחברה מהדוגמא הקודמת יש תיק נכסים בהיקף של 2 מיליון ₪, כאשר 1 מיליון ₪ מושקעים במניות מדד ת"א 35 על פי משקלן במדד ו- 1 מיליון ₪ מושקעים בשע"ח שקל-דולר. לשם הפשטות נניח תחילה כי שיעורי התשואה היומיים הן של מדד ת"א 35 והן של שע"ח שקל-דולר מפולגים נורמלית וכי המתאם האמפירי בין שיעורי התשואה של מדד ת"א 35 ושיעורי התשואה של שע"ח שקל-דולר הינו אפס. כעת נחשב את ה- VaR האנליטי לתקופה של 10 ימים של התיק האמור ברמת ביטחון של 99% (קרי, 2.33 סטיות תקן).

תחילה נחשב את ה- VaR האנליטי היומי של 1 מיליון ₪ המושקעים במניות מדד ת"א 35, כאשר אומדן סטיית התקן השנתית של שיעורי התשואה של מדד ת"א 35 הינו 9% (הווה אומר, אומדן סטיית תקן יומית של 0.57%):

רמת אי הודאות היומית של 1 מיליון ₪ המושקעים במדד ת"א 35 הינה:

5,669 ₪ = 0.57% x 1,000,000 ₪

ה- VaR האנליטי היומי של 1 מיליון ₪ המושקעים במדד ת"א 35 הינו:

13,210 ₪ = 2.33 x 0.57% x 1,000,000 ₪

ה- VaR האנליטי לתקופה של 10 ימים של 1 מיליון ₪ המושקעים במדד ת"א 35 הינו:

41,773 ₪ = 3.162 x 2.33 x 0.57% x 1,000,000 ₪

כעת נחשב את ה- VaR האנליטי היומי של 1 מיליון ₪ המושקעים בשע"ח שקל-דולר, כאשר אומדן סטיית התקן השנתית של שיעורי התשואה של שע"ח שקל-דולר הינו 6% (הווה אומר, אומדן סטיית תקן יומית של 0.38%):

רמת אי הודאות היומית של 1 מיליון ₪ המושקעים בשע"ח שקל-דולר הינה:

3,780 ₪ = 0.38% x 1,000,000 ₪

ה- VaR האנליטי היומי של 1 מיליון ₪ המושקעים בשע"ח שקל-דולר הינו:

8,807 ₪ = 2.33 x 0.38% x 1,000,000 ₪

ה- VaR האנליטי לתקופה של 10 ימים של 1 מיליון ₪ המושקעים בשע"ח שקל-דולר הינו:

27,849 ₪ = 3.162 x 2.33 x 0.38% x 1,000,000 ₪

השלב הבא הינו חישוב ה- VaR האנליטי של התיק בכללותו, כאשר ידוע כי סטיית התקן של התיק הינה סך הצברם של שלושה מרכיבים. 

המרכיב הראשון הינו מכפלת אומדן השונות היומית של שיעורי התשואה של מדד ת"א 35 (קרי, 0.000032 = 0.57% x 0.57%) במשקל בריבוע (כלומר, המשקל בחזקת 2) של מדד ת"א 35 בתיק (קרי, 0.25 = 50% x 50%). 

המרכיב השני הינו מכפלת אומדן השונות היומית של שיעורי התשואה של שע"ח שקל-דולר (קרי, 0.000014 = 0.38% x 0.38%) במשקל בריבוע (כלומר, המשקל בחזקת 2) של הדולר בתיק (קרי, 0.25 = 50% x 50%). 

המרכיב השלישי הינו מכפלה של פעמיים משקל מדד ת"א 35 בתיק (קרי, 50%), במשקל הדולר בתיק (קרי, 50%), באומדן סטיית התקן היומית של שיעורי התשואה של מדד ת"א 35 (קרי, 0.57%), באומדן סטיית התקן היומית של שיעורי התשואה של שע"ח שקל-דולר (קרי, 0.38%) באומדן המתאם האמפירי שבין שיעורי התשואה של מדד ת"א 35 ושע"ח שקל-דולר (קרי, 0).

לפיכך, אומדן סטיית התקן היומית של שיעורי התשואה של התיק בדוגמא שלנו הינו 0.28%.

רמת אי הודאות היומית של 2 מיליון ₪ המושקעים 1 מיליון ₪ במדד ת"א 35 ו- 1 מיליון ₪ בשע"ח שקל-דולר הינה:

5,669 ₪ = 0.28% x 2,000,000 ₪

ה- VaR האנליטי היומי של 2 מיליון ₪ המושקעים 1 מיליון ₪ במדד ת"א 35 ו- 1 מיליון ₪ בשע"ח שקל-דולר הינו:

13,210 ₪ = 2.33 x 0.28% x 2,000,000 ₪

ה- VaR האנליטי לתקופה של 10 ימים של 2 מיליון ₪ המושקעים 1 מיליון ₪ במדד ת"א 35 ו- 1 מיליון ₪ בשע"ח שקל-דולר הינו:

41,773 ₪ = 3.162 x 2.33 x 0.28% x 2,000,000 ₪

ה- VaR האנליטי לתקופה של 10 ימים של 1 מיליון ₪ המושקעים במדד ת"א 35 ברמת ביטחון של 99% הינו 41,773 ₪.

ה- VaR האנליטי לתקופה של 10 ימים של 1 מיליון ₪ המושקעים בשע"ח שקל-דולר ברמת ביטחון של 99% הינו 27,849 ₪.

סך הצברם של שני ה- VaR האנליטיים שחושבו לעיל הינו: 69,622 ₪ = 27,849 ₪ + 41,773 ₪.

ה- VaR האנליטי לתקופה של 10 ימים של 2 מיליון ₪ המושקעים 1 מיליון ₪ במדד ת"א 35 ו- 1 מיליון ₪ בשע"ח שקל-דולר ברמת ביטחון של 99% הינו 41,773 ₪.

ההפרש בין סך הצברם של שני ה- VaR האנליטיים לבין ה- VaR האנליטי של התיק (27,849 ₪ = 41,773 ₪ – 69,622 ₪) נובע מפיזור הסיכון.

הנתונים, המידע, הדעות והתחזיות המופיעות במייל זה מועברים במסגרת תכתובת כללית, ואין לראות בהם המלצה או תחליף לשיקול דעתו העצמאי של נמען במייל זה, אין לראות בהם הצעה כלשהי, שיווק השקעות או ייעוץ השקעות ב: קרנות נאמנות, תעודות סל, קופות גמל, קרנות פנסיה, קרנות השתלמות או כל נייר ערך אחר או נדל"ן – בין באופן כללי ובין בהתחשב בנתונים ובצרכים המיוחדים של כל נמען למייל זה – לרכישה ו/או ביצוע השקעות ו/או פעולות או עסקאות כלשהן. במידע המופיע במייל זה, עלולות ליפול טעויות ועשויים לחול בו שינויי שוק ושינויים אחרים. כמו כן עלולות להתגלות סטיות בין התחזיות המובאות במייל זו לתוצאות בפועל. לכותב עשוי להיות עניין אישי בדברים נשוא מייל זה, לרבות החזקה ו/או ביצוע עסקה עבור עצמו ו/או עבור אחרים בניירות ערך ו/או במוצרים פיננסיים אחרים הנזכרים במסמך זה. הכותב עשוי להימצא בניגוד עניניים. משה מימון לא יהא אחראי בכל צורה שהיא לנזק או הפסד שיגרמו משימוש באמור במייל זה, אם יגרמו.